Álgebra: Factorización

Factorizar es "expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores" en palabras más fáciles, factorizar significa encontrar un equivalente a una ecuación, ya sea de suma o resta, y ese mismo equivalente representado en un multiplicación.

La verdad es que suena un poco complicado pero es fácil, solo se necesita un poco de lógica.

Factor Común

Es la expresión común que tienen todos los términos de una expresión algebraica.

• Ejemplo: x⁶ – x⁵ + x²

Para encontrar el factor común se toma la letra que se repite y de menor exponente, esto es muy importante, en este caso es (x²), después cada uno de los términos de la expresión algebraica (x⁶ – x⁵ + x²) se divide entre el factor común, es decir, entre (x²)

x⁶ / x² = x⁴      - x⁵ / x² = -x³       x² / x² = 1

Y los resultados se interpretan así:

x⁶ – x⁵ + x² = x² (x⁴ – x³ + 1)  

Debes recordar, que factorizar significa expresar una suma o diferencia (x⁶ – x⁵ + x²) en este caso; expresarla de forma como multiplicación: (x² (x⁴ – x³ + 1))  

• Ejemplo: 16a⁶b⁷c – 12a⁵b²c³ + 20a³b¹⁰

Se debe de buscar el “Máximo Común Divisor” de los coeficientes (16, 12, 20) asi como de las literales:

MCD (16, 12, 20) = 4              Factor común literal: a³b²

Recuerda que: El factor común literal, debe localizarse en cada término, es por eso que “c³, c” no fueron tomadas en cuenta, porque no se localizaba en (20a³b¹⁰)

Después pasamos a dividir cada término entre (4a³b²); es decir:

16a⁶b⁷c / 4a³b² = 4a³b⁵c      – 12a⁵b²c³ /  4a³b² = -3a²c³         20a³b¹⁰ / 4a³b² = 5b⁸      

Entonces: 16a⁶b⁷c – 12a⁵b²c³ + 20a³b¹⁰ = 4a³b² (4a³b⁵c - 3a²c³ + 5b⁸)

• Ejemplo: 18x² – 12x + 54

Para factorizar se busca el MCD que es “6” pero como no existe un factor común literal, entonces se divide cada término entre 6.

Y se expresa como: 18x² – 12x + 54 = 6 ( 3x² – 2x + 9)

NOTA: Como te daras cuenta solo se debe de buscar "El factor común literal" en cada término que deseamos factorizar, y después buscar el "Máximo Común Divisor"; en caso de que el factor común literal NO se encuentre en todos los términos, solo se busca el MCD. Después dividimos entre cada término y listo.

Factor común por agrupación de términos

Este tema es relativamente fácil y siento yo que con un solo ejemplo bien explicado se entiende perfectamente; sin embargo si no entendiste el tema anterior "Factor Común" se te va a complicar este. En caso de que existan dudas pueden ponerlas en los comentarios:

• Ejemplo: am + bm + a² + ab

Primero, pasamos a agrupar los términos y de los primeros se factoriza “m” y de los segundos “a”

(am + bm) + (a² + ab)

 

Factorizamos (am + bm) teniendo en cuenta a “m” como el factor común literal y lo dividimos entre cada término:

am / m = a        bm / m = b

De la misma forma factorizamos (a² + ab), tomando en cuenta “a” como el factor común literal:

a² / a = a           ab / a = b

Entonces:

(am + bm) + (a² + ab)  = m (a + b) + a (a + b)

Como podemos observar, (a + b) se repite, entonces se puede volver a factorizar tomando este mismo cómo factor común literal, entonces:

m (a + b) + a (a + b) = (a + b)(m + a)

Diferencia de cuadrados:

La diferencia de cuadrados es de la forma :

a² – b² = (a + b) (a – b)

Si te das cuenta, es la factorización de binomios conjugados.

• Ejemplo: x² – 9

Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos y los resultados se acomodan como en la fórmula:

√x² = x        √9 = 3

Finalmente, la factorización es:

x² – 9 = (x + 3) (x - 3)

• Ejemplo: 16/9 x² – 1/25

Se saca las raíces de cada término y se acomodan

16/9 x² – 1/25 = (4/3 x + 1/5) (4/3 x – 1/5)

Trinomio Cuadrado Perfecto 

Este es un tema que a muchas personas confunde, ya que son varias las situaciones a presentarse, pero como siempre, tratare de explicar cada situación y sus reglas de forma sencilla para su mejor entendimiento.

Se le conoce así a toda expresión de forma:

a² +/- 2ab + b² 

Para poder factorizar esta expresión se debe:

1. Que los términos se encuentren de forma ordenada como esta en la fórmula, es decir, que los  términos con exponentes se encuentren a los extremos
2. Se extraen las raíces cuadradas del primer y último término
3. IMPORTANTE: Se debe comprobar que es un "Trinomio Cuadrado Perfecto" ya que si la comprobación es errónea, entonces es otro tipo de factorización que veremos más adelante. Para realizar la comprobación se realiza el doble del producto de las raíces, es decir: 2ab
4. Si el resultado de la comprobación es igual al segundo término del trinomio, entonces SI es un "Trinomio Cuadrado Perfecto"

Después de tantas palabras, mejor vayamos a los ejemplos para su mejor entendimiento:

• Ejemplo: x² + 6x + 9

Se extraen las raíces cuadradas del primer y segundo término, y se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto

√x² = x      √9 = 3      Comprobación: 2 (3) (x) = 6x

Para saber que signo lleva, siempre se toma el signo del segundo término del trinomio (6x)

Entonces:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

• Ejemplo:  4x² – 12xy + 9y²

Se extraen las raíces y se comprueba que es un trinomio cuadrado perfecto:

√4x² = 2x         √9y² = 3y       Comprobación: 2(2x) (3y) = 12xy

Entonces:

4x² – 12xy + 9y²  =  (2x – 3y)² Recuerda que se pone el signo del segundo término del trinomio (-12xy)

• Ejemplo: 3a - 2√15ab + 5b

Se extraen las raíces de los términos y se hace la comprobación:

√3a , √5b     Comprobación: 2 (√3a) (√5b) = 2 √ (3a)(5b) = 2 √15ab

Entonces:

3a - 2√15ab + 5b = (√3a - √5b)²

Trinomio de la forma: x² + bx + c

Cuándo sabes que un trinomio es de esta forma:

1. Cuándo la comprobación del "Trinomio Cuadrado Perfecto" falla y no es igual al segundo término del trinomio
2. Cuándo el coeficiente del término cuadrático (x²) del trinomio, es igual a "1"

Esta expresión resulta del producto de "Binomio con término común"

• Ejemplo:  x² + 11x + 24

Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático (x²) y se coloca el resultado en ambos factores:

x² + 11x + 24 = (x  ) (x  )

Se coloca el signo del segundo término (+11x) en el primer factor; y en el segundo factor, se multiplica el signo del segundo término (+11x) con el del tercer término (+24)

x² + 11x + 24 = (x +  ) (x +  )

Al ser iguales los signos de los factores, se buscan dos cantidades que multiplicadas sean iguales al tercer término (24) y cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término (11); estos números son “3” y “8”. 

Se coloca en el primer factor el número mayor y en el segundo el número menor

x² + 11x + 24 = (x + 8) (x + 3) 

•  Ejemplo:  m² -13m + 30

La raíz cuadrada del término cuadrático es “m”; en el primer factor, se coloca el signo del segundo término (-13m) y en el segundo factor va con el signo que resulta de multiplicar el segundo término (-13m) con el tercer término (+30)

m² -13m + 30 = (m -  ) (m -  )

Como los signos de los factores siguen siendo iguales (-)(-), entonces se busca dos cantidades que multiplicadas te den “30” y sumadas den “13”; estas cantidades son “10” y “3”.

Se coloca en el primer factor el número mayor y en el segundo factor el número menor

m² -13m + 30 = (m – 10) (m – 3)

IMPORTANTE: Como te habrás dado cuenta, los signos de los factores siempre quedan iguales, y cuando es así, se multiplican dos cantidades y después se "suman"; pero cuando los signos son contrarios dentro de los factores, se multiplican y después se "restan".

No es nada difícil, solo recuerda que si los signos son iguales, se multiplica y después se suma; y si son diferentes los signos, se multiplica y después se resta.

• Ejemplo:  x² – 7x – 18

Se extrae la raíz del término cuadrático:

x² – 7x – 18 = (x   ) (x   )

En el primer factor se coloca el signo del segundo término (-7x); y en el segundo factor se coloca el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término (-7x) con el del tercer término (-18)

x² – 7x – 18 = (x -  ) (x +  )

Como los signos dentro de los factores son diferentes, entonces se buscan dos cantidades que multiplicadas den (18) y restadas den 7; en esta ocasión, dichos números son “9” y “2”.

Se colocan en los factores, recordando que el mayor va en el primero y el menor en el segundo

x² – 7x – 18 = (x – 9) (x + 2)

• Ejemplo: x² + xy – 20y²

Se extrae la raíz cuadrada, se acomodan los signos y se buscan los números:

x² + xy – 20y² = (x + 5y) (x – 4y)

Trinomio de la forma: ax² + bx + c

Cuándo sabes que un trinomio es de esta forma:

1. Cuándo la comprobación del "trinomio cuadrado perfecto falla"
2. Cuándo el coeficiente del término cuadrático es diferente a "1"

Para realizar esta factorización es importante que sepas factorizar por "Factor Común" y por "Trinomio de la forma: x² + bx + c" ya que se usan ambos para este. Es un poco enredado pero no difícil de comprender con un poco de atención.

• Ejemplo:  6x² – 7x – 3

TODA la expresión se multiplica y divide por el coeficiente del término cuadrático (6x²). En el caso 

del segundo término (-7x) sólo se deja indicada la multiplicación.

6 (6x² – 7x – 3) / 6  →   36x² -7(6x) – 18 / 6  →  (6x)² -7(6x) – 18 / 6

La expresión final {(6x)² -7(6x) – 18} se factoriza como un trinomio de forma “x² + bx + c”

NOTA: Observa como transforme 36x² en (6x)² con el objetivo de usarla en “x² + bx + c”

(6x)² -7(6x) – 18 / 6 = (6x – 9) (6x + 2) / 6

Se obtiene el “Factor Común” de cada binomio “(6x – 9)”, “(6x + 2)”

(6x – 9) (6x + 2) / 6 → 3(2x – 3) 2 (3x + 1) / 6

(3(2x – 3) 2 (3x + 1)) / 6 → 6(2x – 3)(3x + 1) / 6 = (2x – 3)(3x + 1)

Es cierto que factorizar este tipo de trinomios es más complicado, pero sólo usamos las factorizaciones anteriores para realizar esta misma. No hay nada nuevo, asi que si tuviste problemas, te invito a repasar de nuevo el ejemplo paso por paso o en su caso, repasar las factorizaciones anteriores para tener más práctica y resuelvas este de manera más sencilla.

• Ejemplo:  3x² – 5x – 2

Primero se multiplica y se divide TODA la expresión entre “3”, esto se hace con el motivo de poder transformar la expresión en forma de: “x² + bx + c”

3x² – 5x – 2 = 3(3x² – 5x – 2) / 3

Multiplicamos por “3” la expresión, y en el segundo término (-5x) solo dejamos dicha la multiplicación:

3(3x² – 5x – 2) / 3 = 9x² -5(3x) – 6 / 3

El “9x²” lo vamos a representar de la siguiente forma, al igual que en el ejemplo pasado:

9x² -5(3x) – 6 / 3 = (3x)² – 5(3x) – 6 / 3

RECUERDA que toda la expresión está siendo divida entre “3”

Factorizamos “(3x)² – 5(3x) – 6” de la forma “x² + bx + c”

(3x)² – 5(3x) – 6 /3 = (3x – 6) (3x + 1) / 3

Ahora por factor común, factorizamos el binomio:

(3x – 6) (3x + 1) / 3 = 3(x – 2)(3x + 1) / 3

Ahora eliminamos el “3” que esta hasta el principio, con el “3” que estuvo dividiendo todo el tiempo:

3(x – 2)(3x + 1) / 3 = (x – 2)(3x + 1)

RESUMEN GENERAL:

Como puedes observar la cuestión de todo esto, es saber identificar tu expresión algebraica y saber que tipo de factorización usarás.

Te recomiendo que si tu fracción es un trinomio, primero hagas la comprobación de si es o no es un "Trinomio Cuadrado Perfecto" en caso de que no lo sea, verifica el término cuadrático (x²), si el coeficiente es igual a 1 entonces usarás "Trinomio de forma: x² + bx + c" o si es diferente a 1, entonces usarás "Trinomio de forma: ax² + bx + c" y después de comprobarlo, pasarás a resolverlo respectivamente