Álgebra: Productos Notables

Cada Binomio y Trinomio fue creado para poder facilitarnos el desarrollar ciertas ecuaciones, la clave de este segmento es que te aprendas cada binomio para facilitarte las cosas, y aprender a ver la relación de estas cuando son aplicadas.

 Cuadrado de un Binomio

 "Es el desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término..." en otras palabras más sencillas, todo se representa así:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2


  • Ejemplo: (x + 7)2
En este caso "a" es "x", y "b" es "7"  →  x2 + 2 (7) (x) + 72 = x2 + 14x + 49

  • Ejemplo: (3m + 5n)2

(3m + 5n)2 →  (3m)2 + 2 (3m) (5n) + (5n)2 =  9m2 + 30mn + 25n2

  • Ejemplo: (1/2a + 3)2  

(1/2a + 3)2  → (1/2a)2 + 2 (1/2a) (3) + (3)2 = 1/4a2 + 6/2a + 9

 El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades al cuadrado se representa así:
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

Como te daras cuenta, la única diferencia que existe es la del signo, pero el procedimiento es EXACTAMENTE lo mismo que antes.

Cuadrado de un trinomio

Es el desarrollo de: (A + B + C)2 significa que es "igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos "; de una forma más fácil de comprender sin tantas palabras es:

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC

  • Ejemplo: Desarrollar (x + 2y + 3z)2

(x + 2y + 3z)2 = (x)2 + (2y)2 + (3z)2 + 2(x) (2y) + 2(x) (3z) + 2(2y) (3z) = x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy + 6xz + 12yz

Binomios Conjugados

Son de la forma: (A + B)(A - B) y su resultado es "la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades"

(A + B)(A - B) = A2 – B2

  • Ejemplo: (x + 6) (x - 6)

(x + 6) (x - 6) = x2 - 36

  • Ejemplo: ( - 2x3 + 7) ( - 2x3 - 7) 

( - 2x3 + 7) ( - 2x3 - 7) = (- 2x3)2 – (7)2 = 4x6 - 49

  • Ejemplo: (10/3 – 3m4/2) (3m4/2 + 10/3)

(10/3 – 3m4/2) (3m4/2 + 10/3) = (10/3)2 – (3m4/2)2 = 100/9 – 9m8/4

Binomios con término en común

Son de la forma (X + A) (X + B), su resultado es "un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes" tanta palabra se reduce en:

(x + a) (x + b) = (x)2 + ( a + b) (x) + ab

  • Ejemplo: (x - 6) (x + 4)

(x - 6) (x + 4) = (x)2 + ( - 6 + 4) (x) + (-6)(4) = x2 -2x - 24

  • Ejemplo: (x + y - 3) (x + y + 7)

(x + y - 3) (x + y + 7) = (x + y)2 + (-3 + 7) (x + y) + (-3)(7) = (x + y)2 + 4 (x + y) – 21 = x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y - 21 

Si puedes darte cuenta, usamos el "Binomio al cuadrado" en (x + y)2 para darnos como resultado: x2 + 2xy + y2

  • Ejemplo: (2m + 3n - 4) (2m -5n + 2)

(2m + 3n - 4) (2m -5n + 2) = (2m)2 + (3n -4 -5n + 2) (2m) + (3n – 4) (-5n + 2) = 4m2 + ( -2n -2) (2m) + (-15n2 + 6n + 20n – 8) = 4m2 - 4mn – 4m - 15n2 + 26n - 8

Cubo de un binomio

 Es de la forma (A + B)3 es su desarrollo de la sig. manera:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • Ejemplo: (m + 5)3 

(m + 5)3 = m3 + 3(m)2 (5) + 3(m)(5)2 + 53 = m3 + 15m2 + 75m + 125

  • Ejemplo: ( -2m -3n)3

( -2m -3n)3 = (-2m)3 + 3 (-2m)2 (-3n) + 3 (-2m) (-3n)2 + (-3n)3 = -8m3 – 36m2n -54mn2 - 27n3 

  • Ejemplo: (x - 4)3

(x - 4)3 = (x)3 + 3 (x)2 (-4) + 3 (x) (-4)2 + (-4)3 = x3 – 12x2 + 48x - 64 







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