Simplificación de fracciones algebraicas
- Ejemplo: ( 8a2 + 12ab ) / 8a2
Se factoriza el numerador (8a2 + 12ab) tanto como el
denominador (8a2)
Factorizamos ambos de forma de “Factor Común”
( 8a2 + 12ab ) / 8a2 → ( (4a)(2a + 3b)
) / (2a)(4a)
Una vez factorizados los elementos de la fracción, se
observa que en ambos se encuentra la expresión (4a), lo cual procede a
eliminarse:
( (4a)(2a + 3b) ) / (2a)(4a) = (2a + 3b) / 2a
- Ejemplo: 3m / 15m – 12m2
Se factoriza el numerador y el denominador, simplificando el
término que se repite en ambos
3m / 15m – 12m2 = 1(3m) / 3m (5 – 4m) = 1 / 5 - 4m
RECUERDA siempre factorizar, aunque sea sólo un término
- Ejemplo: ( 6x2y – 12xy2 ) / x2 – 4 y2
Se factoriza el numerador de forma “Factor Común) y el denominador
de forma “Diferencia de Cuadrados”
( 6xy (x – 2y) ) / (x + 2y) (x – 2y)
Simplificamos eliminando (x – 2y) tanto del numerador como
del denominador:
( 6xy (x – 2y) ) / (x + 2y) (x – 2y) = 6xy / x + 2y
- Ejemplo: x2 - 6x + 9 / x2 + bx - 3x – 3b
Como podemos observar, el numerador es un “Trinomio Cuadrado
Perfecto” entonces se factoriza de esta forma; mientas que el denominador se
factoriza de forma “Factor Común por conjuntos”
x2 -6x + 9 / x2 + bx - 3x – 3b → (x –
3)2 / (x2 + bx) + (- 3x – 3b) → (x – 3)2 / x
(x + b) -3 (x + b) = (x – 3)2 / (x – 3)(x + b)
Simplificamos el (x – 3)2 del numerador con el (x
– 3) del denominador:
(x – 3)2 / (x – 3)(x + b) = (x – 3) / (x + b)
Suma y resta de fracciones algebraicas con denominador común:
Suma y resta de fracciones algebraicas con denominador común:
- Ejemplo: (2a – a2b / a2b) + (3a + 4a2b/a2b)
Se simplifica cada fracción si es posible:
(2a – a2b / a2b) = a(2 – ab)/a2b = 2 – ab / ab;
(3a + 4a2b/a2b) = a(3 + 4ab)/a2b
= 3 + 4ab/ ab
Se pasan a sumar las nuevas fracciones:
(2 – ab/ ab) + (3 + 4ab/ab)
Como los denominadores son comunes (ab), sólo se reducen los
numeradores, quedando el denominador igual:
(2 – ab/ ab) + (3 +
4ab/ab) = 2 – ab + 3 + 4ab / ab = (5 + 3ab) / ab
- Ejemplo: (2m + n / 2m – n) + (5m - 5n / 2m – n) + (n – m / 2m – n)
En este caso, en ningún numerador puede factorizarse, entonces
como los denominadores son iguales, solo se reducen los numeradores:
(2m + n / 2m – n) + (5m - 5n / 2m – n) + (n – m / 2m – n)
= (2m + n + 5m -5n + n – m) / 2m – n
= (6m – 3n) / 2m – n
En esta ocasión ya se puede factorizar (6m – 3n) entonces:
(6m – 3n) / 2m – n = 3(2m – n) / 2m – n
Se elimina (2m – n) tanto del numerador como del denominador
3(2m – n) / 2m – n = 3
Suma y resta de fracciones algebraicas con denominador diferente
- Ejemplo: 3x / 2y2 + 5y / 4x2
Se obtiene el “Mínimo Común Múltiplo” de los denominadores,
en este caso es ( 4x2y2 )
3x / 2y2 + 5y / 4x2 = 3x(2x2)
+ 5y(y2) / 4x2y2 = 6x3 + 5y3
/ 4x2y2
- Ejemplo: (3x / x2 - 6x + 9) + (4/ x – 3)
Primero
se factoriza “x2 - 6x + 9” para que quede de esta forma:
3x
/ (x – 3)2 + 4/x – 3
Buscamos
el MCM de los denominadores, en este caso (x – 3)2, y pasamos a
resolverla:
3x(1)
+ 4(x – 3) / (x – 3)2
=3x
+ 4x – 12 / (x – 3)2
=
7x – 12 / (x – 3)2
- Ejemplo: ( 1 / (x + h)2 – 1 ) - ( 1 / x2 – 1 )
Antes
de resolverla pasaremos a resolver (x + h)2 y la sustituiremos
1
/ x2 + 2xh + h2 – 1 -
1/x2 – 1
Se
determina el común denominador que es "
1(x2
– 1) / (x2 + 2xh + h2 – 1)(x2 – 1) -
1(x2 + 2xh + h2 – 1) / (x2 + 2xh + h2
– 1)(x2 – 1)
=
x2 – 1 - x2 - 2xh - h2 + 1 / (x2 + 2xh
+ h2 – 1)(x2 – 1)
Reducimos los términos semejantes:
x2
– 1 - x2 - 2xh - h2 + 1 / (x2 + 2xh + h2
– 1)(x2 – 1) = -2xh – h2 / (x2 + 2xh + h2
– 1)(x2 – 1)
Multiplicación de fracciones algebraicas
Este tema es más sencillo y no es tan enredado como lo pueden llegar a ser las sumas y las restas
- Ejemplo: (2x2 / 3y) (6y2 / 4x) (5xy / 2y)
Se
multiplican los numeradores con los numeradores; y denominadores con
denominadores
(2x2)(6y2)(5xy)
/ (3y)(4x)(2y) = 60x3y3 / 24xy2
Se simplifica la fracción:
= 5x3y3
/ 2xy2 = 5x2y / 2
- Ejemplo: (m2 + 9m + 18 / m – 5 ) (5m – 25 / 5m + 15)
Primero
factorizamos “m2 + 9m + 18” de forma de “Trinomio
de forma: x2 + bx + c” y sustituimos:
(m2
+ 9m + 18 / m – 5 ) (5m – 25 / 5m + 15)
=
(m + 6) ( m + 3) / m – 5 por (5m – 25 / 5m + 15)
De
la misma manera factorizamos: (5m – 25) por “Factor Común)
(m + 6) ( m + 3) / m – 5 por
(5m – 25 / 5m + 15)
= (m
+ 6) ( m + 3) / m – 5 por 5(m – 5) / 5m + 15
Ahora
factorizamos “5m + 15” por “Factor Común”
(m
+ 6) ( m + 3) / m – 5 por 5(m – 5) / 5m + 15
= (m
+ 6) ( m + 3) / m – 5 por 5(m – 5) / 5 (m + 3)
Multiplicamos
numeradores con numeradores; denominadores con denominadores:
5
(m + 6) (m + 3) (m – 5) / 5 (m + 3) (m – 5)
Simplificamos
la fracción eliminando los término iguales del numerador con los del
denominador:
5 (m + 6) (m + 3) (m – 5) / 5 (m + 3) (m – 5)
= m
+ 6
División de fracciones algebraicas
- Ejemplo: m2 / 3n2 ÷ 2m / n3
Aquí
se va a a multiplicar cruzado, es decir, (m2)(n3) = m2n3
y el resultado se pone como numerador. De la misma forma se multiplica (3n2)(2m)
= 6mn2 y el resultado se pone como denominador:
m2
/ 3n2 ÷ 2m / n3
= (m2)(n3) / (3n2)(2m)
= m2n3 / 6mn2
- Ejemplo: a3 – a / 2a2 + 6a ÷ 5a2 – 5a / 2a + 6
Debemos
factorizar cada término de ambas fracciones “a3 – a”, “2a2
+ 6a”, “5a2 – 5a” “2a + 6”
a3 – a / 2a2 + 6a ÷ 5a2
– 5a / 2a + 6 → a(a – 1)(a + 1) / 2a2 + 6a ÷ 5a2
– 5a / 2a + 6
a(a
– 1)(a + 1) / 2a2 + 6a ÷ 5a2 – 5a / 2a + 6 → a(a – 1) (a +
1) / 2a(a + 3) ÷ 5a2 – 5a /
2a + 6
a(a
– 1)(a + 1) / 2a(a + 3) ÷ 5a2
– 5a / 2a + 6 → a(a – 1)(a + 1) / 2a(a + 3) ÷ 5a(a – 1) / 2a + 6
a(a
– 1)(a + 1) / 2a(a + 3) ÷ 5a(a – 1) / 2a + 6 → a(a – 1)(a + 1) / 2a(a + 3) ÷ 5a(a
– 1) / 2(a + 3)
Se
multiplican cruzados como en el ejemplo anterior.
(a)(a
– 1)(a + 1)(2)(a + 3) / (2)(a)(a + 3)(5)(a)(a – 1)
Como
puedes observar, podemos eliminar términos semejantes del numerador con el
denominador:
(a)(a
– 1)(a + 1)(2)(a + 3) / (2)(a)(a + 3)(5)(a)(a – 1)
= a
+ 1 / 5a
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