Álgebra: Conceptos Básicos

Polinomios

Un polinomio es un expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos (5x³, -3x², -6x, 2x²)

• Suma

“En la suma de los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes” 

Lo que significa que:

3x-8y-2z+7x+3y+z   =    10x-5y-z

Si puedes darte cuenta, sumamos los términos que tenían la misma letra, en este caso sumamos: “3x” con “7x”, “-8y” con “3y”, “-2z” con “z”

Vayamos con otro ejercicio:

Resolver (6x²+3x+2) + (-x²+7x+4) 

Pasos:

• Pasamos a eliminar los paréntesis: 

El primer paréntesis se elimina automáticamente, ya que no hay ningún término anterior que lo modifique "6x²+3x+2"; el segundo paréntesis lo eliminamos con la ley de los signos:

“+” por “-x²” = -x²

“+” por “+7x” = +7x

“+” por “4” = 4

Como te podras dar cuenta, cuando hay un "+" antes de un paréntesis y deseas eliminar dicho paréntesis, los términos dentro del paréntesis quedan exactamente igual; y cuando tengas un término "-" antes del paréntesis, los términos del parentesis pasan a signo contrario, es decir, si son positivos pasaran a negativos, y si son negativos pasaran a positivos

• Pasamos a resolver nuestra suma:

Como nuestra ecuación ya pasamos a eliminar los paréntesis, quedara de esta manera:

6x²+3x+2-x²+7x+4; lo único que queda por hacer es resolverla:

6x²+3x+2-x²+7x+4 =  5x²+10x+6

• Resta

Para la resta se usa el mismo procedimiento anterior, solo recuerda usar correctamente la "Ley de los signos":

( 4a-2b-5c) – (3a-5b-7c) =  4a-2b-5c-3a+5b+7c = a+3b+2c


Monomio por Monomio

Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases; es decir; primero se multiplican los "números" y después las "incógnitas"

Cabe mencionar la "Ley de los exponentes para la multiplicación" y esta dice que:

a^m por aⁿ  = a^m+n    (5²) (5³) = 5^{5     No olvides esta ley, pues te será útil de ahora en adelante}

• Ejemplo: 

( - 5x⁴y⁵z) (3x²y⁶z) = -15x⁶y¹¹z²

• Ejemplo: 

(- 5/4 a⁶b⁵c⁵ ) (- 2/3 a² b c⁴ ) = (-5/4) (-2/3) a⁶⁺²b⁵⁺¹c⁵⁺⁴ = 10/12 a⁸b⁶c⁹ = 5/6 a⁸ b⁶ c⁹

• Ejemplo:

(3x^2a-1 y^3a) (-2x^4a-3y^2a) = -6x ^{(2a-1) + (4a-3)} y ^{(3a + 2a)} = -6x^6a-4 y^{5a   No importa que los exponentes sean expresiones algebraicas, el procedimiento es el mismo}

Polinomio por Monomio

Nada del otro mundo, de hecho es muy fácil :

• Ejemplo:    (5x⁵y⁴ – 3x⁴y³z + xz⁴) (- 3x⁴y)

Se multiplica el monomio (- 3x⁴y) por cada término del polinomio (5x⁵y⁴ – 3x⁴y³z + xz⁴) de la siguiente manera:

(5x⁵y⁴) (-3x⁴y) + (-3x⁴y³z) (-3x⁴y) + (4xz⁴) (-3x⁴y)

Por tanto el resultado es: -15x⁹y⁵ + 9x⁸y⁴z – 12x⁵yz⁴

Polinomio por Polinomio

Se puede decir que el procedimiento es muy similar al de "Polinomio por Monomio" sin embargo el procedimiento es un poco más largo pero nada difícil. De la misma manera que realizas una multiplicación normal: ( 10x12) primero multiplicas 2x0, después 2x1... En seguida sigues con 1x0, y 1x1....

Con los polinomios es exactamente lo mismo, cada término de ambos polinomios debe multiplicar a cada término del sig. polinomio.

Tomando por ejemplo la imágen anterior, vemos el primer término del primer polinomio (5x) multiplicar a cada término del segundo polinomio, uno a la vez; y después vemos el segundo término del primer polinomio (11) multipliclar de la misma manera.

• Ejemplo:   (5x² – 3x -2) (4x -3x² -6)

Primero multiplicar (5x²) por cada término del segundo polinomio; y después el (– 3x) y así sucesivamente 

(5x²) (4x) + (5x²) (-3x²) + (5x²) (-6) + (-3x) (4x) + (-3x) (-3x²) + (-3x) (-6) + (-2) (4x) + (-2) (-3x²) + (-2) (-6)

Haciendo las multiplicaciones queda:

20x³ – 15x⁴ – 30x² – 12x² + 9x³ + 18x -8x + 6x² + 12

Pasamos a reducir términos (Recuerda que solo se pueden reducir si tienen una misma base y un mismo exponente):

20x³ – 15x⁴ – 30x² – 12x² + 9x³ + 18x -8x + 6x² + 12  =  29x³ – 15x⁴ – 36x² + 10 x + 12

Monomio entre Monomio

Antes de continuar con este tema, debes saber 2 cosas, que como en la multiplicación, la ley de los signos no cambia en la división, es decir que: 

(+)/(+) = (+)    (+)/(-) = (-)   (-)/(+) = (-)   (-)/(-) = (+)

Y la segunda es la "Ley de los exponentes para la división" y esta dice que:

a^m / aⁿ = a^m-n              2⁶ / 2³ = 2³

• Ejemplo: 

-16a⁵b⁴c⁶ / 8a²b³c = -2a³bc^{5   primero se dividen los coeficientes (-16) y (8) teniendo en cuenta los signos, y después se aplica la ley de los exponentes en las bases}

• Ejemplo:

-10x⁷y⁶c / -6x²y²c = 10/6 x⁵y⁴ = 5/3 x⁵y<sup>4 Si la división de los coeficientes no es exacta, se queda como fracción y después se simplifica

Polinomio entre Monomio</sup>

• Ejemplo:   2x⁴ -5x³ +x² / -x²

Primero se divide cada término del polinomio entre el monomio:

2x⁴/-x² – 5x³/-x² + x²/-x^{2 =} -2x² + 5x - 1 (Recordar que toda base elevada a la "0" potencia, es igual a "1"; esto paso cuando: x²/-x²)

• Ejemplo:   (16x⁶y⁵z/-4x²y) – (12x⁴y⁶z²/-4x²y) + (6x³y⁹/-4x²y)

(16x⁶y⁵z/-4x²y) – (12x⁴y⁶z²/-4x²y) + (6x³y⁹/-4x²y) = -4x⁴y⁴z + 3x²y⁵z² – 3/2xy^{8 Asi queda la ecuación ya habiendo eliminado los paréntesis}

Polinomio entre Polinomio

Este tema no es difícil de comprender, mas sin embargo es largo y a veces puede resultar complicado, pero tratare de explicarlo lo mejor posible

• Ejemplo: 

 

1. Se colocan los polinomios en la división como si fuese una división cualquiera con números reales
2. Se toma el primer término del dividendo ( 15x⁴) y se divide entre el primer término del divisor (5x²) y el resultado se coloca en la parte de arriba: 15x⁴/5x² = 3x²
3. Este mismo resultado, se va a multiplicar por cada término del divisor (5x² + xy -3y²) y una vez hecho esto, se le va a cambiar el signo a cada resultado
4. Después se reducen los términos semejantes y se baja el siguiente término del dividendo (7xy³)
5. Se repite el primer paso, es decir: (-10x³y/5x²= -2xy)
6. Se multiplica el resultado de la división anterior y se vuelve a multiplicar por cada término del divisor, NO olvides que a cada resultado deberás cambiarle el signo a cada resultado
7. Se reducen los términos semejantes
8. Se repite el primer paso; se toma el primer termino del dividendo (5x²y²) y se divide entre (5x²) y el resultado se coloca en la parte de arriba: 5x²y²/5x² = y²
9. El resultado se multiplica por cada término del divisor, y a cada resultado se le vuelve a cambiar el signo
10. Después se reducen y podemos ver que como residuo da "0", y el cociente es: 3x² -2xy + y²